لغة الطبيعة وأحد أدلة وجود الخالق..مبدأ موبيرتوي ومسارات فاينمان.

📜 بداية لغز الأداء المثالي في الطبيعة

في الجزء الأول يا صديقى من الموضوع ده، اتكلمنا عن قانون سنيل ومبدأ فيرما. وقلنا إن الاتنين بيعتبروا حاجة واحدة بصرف النظر عن اختلاف الأسماء. فالعالم الهولندى Willebrord Snellius هو اللى عمل العلاقة الرياضية، والعالم الفرنسى Pierre de Fermat هو اللى فسّرها. وبإختصار القانون ده بيعرفنا إزاى نحدد أقرب مسافة بين نقطتين موجودين فى وسطين مختلفين، أو بمعنى تانى بيعرفنا إزاى نحدد المسار اللى بيستهلك أقل زمن ممكن للوصول بين النقطتين.

ومسألة وجود قانون دى لوحدها تعنى عملية رياضية ومحتاجه للتفكير. لكن المفاجأة كانت فى اكتشاف العلماء إن الطبيعة اللى مش بتفكر أصلاً بتقدر توصل للحل الصحيح وكمان من غير فقدان أى ثانية من الوقت. وطبعاً الكلام ده كان بيمثل صدمة كبيرة للعلماء، واستمروا فى محاولات تفسيره على مدار أربع قرون تقريباً.

🔎 Pierre Louis Maupertuis: “ليه كل حاجة بتشتغل بطريقة معيّنة؟”

بعد ما عرف علماء القرن الـ 16 إن الضوء فعلاً بيختار أقصر مسار ويعدى منه، اضطر العلماء للإنتظار حوالى 80 سنة عشان يظهر كلام جديد. بس المفارقة بقى إن الجديد ده ما كانش برضه تفسير. فالحقيقة انه كان عبارة عن تعميق لحجم اللغز وإثارته.

خلينى فى الأول أعرفك على صاحب الكلام الجديد العالم الفرنسى Pierre Louis Maupertuis. موبيرتوي (Maupertuis) ده أولاً كان عالم موسوعى شامل وبيعتبر فعلاً من الفلتات، فهو كان عالم رياضيات وفيزيائى وأديب وفيلسوف. وكان له دور كبير فى تطوير علم التفاضل والتكامل، بالإضافة لأهم أعماله وهى تعريف الناس بأعمال إسحاق نيوتن، واللى كان فى الوقت ده مجهول خارج إنجلترا، أو على الأقل ما كانتش نظرياته مفهومة على نطاق واسع بره المجتمع الإنجليزى.

المهم إن موبيرتوي جه بعد 80 سنة من محاولات حل اللغز وزوّد الطين بلة! والسبب إنه خلال رحلته الفكرية ما كانش بيكتفى بس بمحاولة فهم سلوك الضوء، يعنى ما كانش بيكتفى زى الباقيين بالسؤال عن سبب معرفة الضوء للمسار الأسرع. فـ Maupertuis كان بيسأل نفسه أسئلة كتير ليها تقريباً نفس المعنى. مثلاً كان بيسأل نفسه: ليه الكواكب بتمشي في مسارات بيضاوية؟ وليه بتتحرك بالسرعات دى مش سرعات غيرها؟ وليه برضه البندول بيتحرك بالسرعة دى؟ وليه ما يتحركش أسرع أو أبطأ؟

باختصار Maupertuis بص على الطبيعة وسأل السؤال الآتى: ليه كل حاجة بتشتغل بطريقة معيّنة مش بطريقة تانية؟

ولذلك لما حس إنه وصل للإجابة بعد تأملاته وحساباته، قرر إنه يفجر القنبلة قدام الناس. Maupertuis قالهم يا جماعة الحكاية مش خاصية غامضة للضوء وخلاص، مش الضوء لوحده هو اللى بيتحرك باسلوب يخليه يقطع المسافات فى أقل زمن وأقل مجهود. لكن اللى اكتشفته إن كل حاجة فى الطبيعة لما بتتحرك بتؤدى وظيفتها بأقل جهد ممكن. كل حاجة بتتحرك من نقطة A إلى نقطة B بتميل لمبدأ الادخار فى الجهد والطاقة. يعنى بصورة أوضح كل حاجة بتحاول إن آداءها يكون مثالى.

الكواكب مثلاً بتدور في مسارات بيضاوية عشان هى دى المسارات الأفضل. أى مسار غير البيضاوى كان هيكلف الكوكب قدر أكبر من الوقت والطاقة بدون أى داعى.

وقال موبيرتوي إن السر فى الموضوع ده بيرجع لكمية فيزيائية جديدة مكناش نعرفها. الكمية دى يا جماعة أنا هسميها الفعل أو Action. فالفعل هو الطريقة اللى بيتصرف بيها أى نظام طبيعي وبيمثل مجموع سلوك النظام خلال الزمن.

وقال موبيرتوى انه ممكن التعبير عن الكمية دى رياضيا على انها مجموع حاصل ضرب كميات فيزيائية تلاته على الأقل. فعشان تجيب كمية الفعل لأى شيئ سواء طاقة زى الضوء أو أى جسم مادى، فانت هتبقى محتاج تضرب: كتلة الشيئ ده $\times$ السرعة اللى بيتحرك بيها $\times$ المسافة التي قطعها.

يعنى بالظبط زى ما حد يسألك هو المشوار الفلانى ياخد منى وقت أد إيه؟ فانت عشان تجاوبه بتسأله: “هو انت رايح بطولك ولا هتنقل حاجة معاك؟ قولى هتنقل إيه؟ عشان أعرف الكتلة الإجمالية اللى هتتحرك”. بعد ما تعرف الكتلة هتسأله وتقوله: “انت هتركب إيه عشان أعرف السرعة؟” و طبعاً هتقوله: “إيه هى مسافة المشوار؟ عشان أدخلها فى الحسبة”.

يعنى الخلاصة موبيرتوي ابتكر كمية فيزيائية جديدة وعمل معادلة لإيجادها بتقول:

إن الفعل أو الأكشن اللى رمزله بالرمز S دلالة على المجموع، بيساوى حاصل ضرب الكتلة ($m$) $\times$ السرعة ($v$) $\times$ المسافة ($d$).

وقال للجميع استعملوا بقى العلاقة دى على أى شيئ تسألوا عن السبب فى سلوكه، ودايماً هتلاقوا إن العلاقة دى بتحقق مبدأ بيسمى مبدأ أقل فعل (The Principle of Least Action). يعنى مثلاً لو حد عايز يعرف ليه الكواكب مساراتها بيضاوية؟ فكل المطلوب انه يحسب كمية الفعل فى حالة المسار البيضاوى، ويرجع يحسب كمية الفعل فى اى شكل تانى من المسارات. وببساطة هيلاقى دايماً المسار البيضاوى هو اللى بيحقق أقل فعل. يعنى بمعانى تانية أقل طاقة مهدرة أو أقل جهد أو أقل زمن. فعلى سبيل المثال الكواكب لو كانت بتدور مثلاً فى مسار مربع مش بيضاوى، فكانت هتحتاج كل شوية إنها تغير سرعتها فجأة عند أركان المربع. وعملية التغيير دى نفسها هتزود الفعل والطاقة المبذولة، وده لأن الحركة ساعتها هتكون حركة غير سلسة وهتحتاج طاقة أكبر لإدارتها.

كمان بالنسبة لحركة انكسار الضوء قالهم جربوا أى مسار تانى وشوفوا بنفسكوا، هتلاقوا ان المسار المنكسر ده هو الأسلوب الحركى اللى بيوفر الوقت والجهد. قدامكوا بقى كل الأنظمة فى الكون جربوا براحتكوا عشان تصدقوا. كل مرة هتلاقوا أنظمة الكون بتتحرك بإسلوب محسوب وله هدف و غير عشوائى.

يعنى بالبلدى لو تعرف يا صديقى المثل بتاع ودنك منين يا جحا هتفهم قصد موبيرتوي. هو قصده إن الشخص العاقل لما حد يسأله فين ودنه؟ على طول يشاور عليها من أقرب طريق. وده لأن مفيش داعى إنه يلف إيده حوالين راسه ويوصل من أبعد طريق!

لكن طبعاً كلام Maupertuis ده كان له معنى خطير ولازمله سؤال متوقع. ففعلاً الناس قالوله: “إنت عايز تقول إيه يا عم Maupertuis؟ هو انت خلاص اعتبرت ان الكون عنده عقل وبيفكر؟“

وزى ما يكون Maupertuis كان منتظر السؤال ومحضرله الإجابة. ولذلك قالهم على طول: “لا طبعاً ماقصدش إن الكون بيفكر! إنما اللى خلق الكون هو اللى بيفكر“.

ومن هنا بقى اشتهر مبدأ موبيرتوي (Maupertuis’s principle) أو مبدأ أقل فعل (The Principle of Least Action) على إنه واحد من أدلة وجود الخالق سبحانه وتعالى. وخلينى أقولك إن عصر موبيرتوى فعلاً كان عصر صراع الدين مع العلم. وبيرتوى أصلاً بجانب مواهبه المتعددة كان شخص متدين. وزى ما قلنا انه كان عالم و أديب وفيلسوف، والصفات دى دايماً بتخلى صاحبها يكون ليه اسلوب مختلف فى استشعار الحكمة والجمال.

فمن اقتباسات موبيرتوي الجميلة حوالين المعنى ده كلمته اللى بيقول فيها: “هذا المبدأ لا يخبرنا فقط كيف تتحرك الأشياء، لكنه أيضاً يعطينا لمحة عن جمال العقل المسئول عن تسخير الطبيعة“.

📈 منهجية موبيرتوي وعبقرية التحليل النظري

بالتأكيد الكلام اللى قاله موبيرتوي أو المبدأ اللى أرساه كان على قدر كبير من الجمال. بس السؤال برضه هو إزاى حسب كمية الفعل لكل أنظمة الكون؟ إذا كان العصر الموجود فيه موبيرتوي تقريباً ما كانش فيه أى معطيات! يعنى ما كانش معروف لا سرعة الضوء ولا الالكترونات ولا كتلتهم ولا أى شيئ، يبقى إزاى جاب القيم اللى عوض بيها عشان يعمل الحسابات؟

شوف يا سيدى، هو فعلاً موبيرتوى كان عنده كمية ضئيلة من المعطيات، لكنه فى نفس الوقت كان بيمتلك كمية ضخمة من الفهم الرياضى وأدوات التحليل. ده بالإضافة إلى إنه كان يعرف بعض المعطيات الفيزيائية اللى كانت معروفه فى زمنه، زى طبعاً مفهوم الكتلة والسرعة والزمن والمسافة. وزى ما قلنا هو أصلاً كان فاهم كويس قوانين نيوتن للحركة وهو اللى شرحها فى بلده. بالإضافة إلى انه كان عارف مثلاً ان الضوء بيمشى بسرعات مختلفة حسب نوع الوسط.

ولذلك هو قدر يستخدم المعلومات البسيطة اللى فى إيده أحسن استغلال. فموبيرتوي اشتغل بطريقة بتسمى طريقة التحليل النظرى أو الـ (theoretical derivation). وبالمناسبة كانت هى دى الطريقة اللى استخدمها فيرما برضه من قبله، لكن طبعاً طريقة موبيرتوى كانت موسعة أكبر لأنه أدخل عدد إضافى من الكميات الفيزيائية.

عموماً هو فهم الطريقة موضوع معقد شوية بس خلينى أبسطلك الفكرة. موبيرتوي بدأ من افتراضه اللى بيقول إن مجموع سلوك النظام بيمثل كمية فيزيائية جديدة بتسمى الفعل. والفعل ده على الأقل $\text{Action} = \text{الكتلة} \times \text{السرعة} \times \text{المسافة}$.

بعد كده قدر موبيرتوي انه يكمل شغله بطريقة المتغيرات (Variables). على فكرة لو حد منكم درس لغة برمجة هيبقى فاهم كويس المقصود بالمتغيرات. لكن لو حد ما يعرفش فيكفيه يفهم ان المتغيرات دى بتدي حرية لاستخدام أى قيم باحتاجها. يعنى لو حتى ما عنديش القيم الحقيقية فأنا ممكن أخترع قيم من عندى واجرب بيها.

فمثلاً ممكن أختار رمز وليكن $V$ للتعبير عن الـ velocity أو السرعة. وبعدين خلال شغلى ممكن أعوض عن الرمز $V$ ده بأى قيمة أنا عايزها. ولو حتى قابلتنى مسألة بيكون فيها سرعتين زى سرعة الضوء فى وسطين مختلفين، فبرضه بسهولة بكون محدد من البداية $V_1$ و $V_2$. فـ $V_1$ ممكن أعتبرها هى سرعة الضوء فى الهوا، وتكون $V_2$ هى سرعة الضوء فى المية. وطبعاً الاتنين ممكن ياخدوا قيم متعددة أحطها من عندى. نفس الكلام برضه هطبقه على الكتلة والمسافة.

فمثلاً فى حالة تحديد فعل الضوء ممكن أقول: $S$ بتمثل الفعل، و $m$ بتمثل كتلة الضوء اللى المفترض مش بتتغير، و $d_1$ بتمثل المسافة فى الوسط الأول وليكن الهوا، و $d_2$ بتمثل المسافة فى الوسط التانى وليكن المية.

الفكرة بقى ما دام أنا عرفت أستنتج العلاقة فالقيم مش هتهمنى، لأنى ممكن أحط أى قيم وأعوض بيها وأشوف الناتج النهائى أد إيه؟ وبنفس الطريقة ممكن أطبق براحتى على اى مسار وأشوف أنهى مسار بيدينى قيم أعلى أو قيم أقل.

والمهم إن موبيرتوي لما كان بيعمل التعويضات دى، كان دايماً المسار اللى بتختاره الطبيعة هو اللى بيدى قيم أقل.

وعشان بقى ما نعقدش الموضوع ونقلب المقال لحصة رياضيات، إحنا ممكن نختصر ونقول إن مبدأ موبيرتوى (Maupertuis’s principle) تم تطويره على مدار عشرات السنين، وكان من أهم الأسماء اللى شاركت فى التطويرات أسماء زى Lagrange و Hamilton. والناس دى قدرت فعلاً توصل لصيغ أدق وأشمل لتعريف كمية الفعل.

إنما اللى قلب الموضوع رأساً على عقب زى ما بيقولوا، كان هو الفيزيائى الشهير Richard Feynman. فـفاينمان أثبت سنة 1948 ان المبدأ نفسه بيشتغل فى عالم الكم، وطبعاً زى ما انتوا عارفين مادام الحكاية وصلت للكم، يبقى الجنان اشتغل.

🤯 تكامل مسارات فاينمان: العملية الكمومية للاختيار

فاينمان جه سنة 1948 وفجر قنبلة جديدة. قال للناس إن حكاية الضوء اللى بيختار الطريق الأسرع دى فعلاً صحيحة، بس الفكرة بقى ان الحكاية دى بتحصل بعد دراسة! فالواقع إن فوتونات الضوء فعلاً بتقوم بعملية دراسة حقيقية لكل المسارات. بعد ما بتخلص الدراسة وبتعرف مين المسار الأسرع، بتلم بعضها وتتكوم فى المسار السريع وتطنش بقية المسارات.

طبعاً الجنان ده كان محتاج ان الناس توقف فاينمان وتقوله: “انت بتقول إيه يا عم؟“

فاينمان قالهم يا جماعة الموضوع أبسط ما يمكن! الحكاية كلها سببها حالة كمومية إسمها تكامل المسارات (Path Integrals). معنى الحالة دى زى ما قلتلكوا ان الجسيمات بتمشى فى كل المسارات في نفس الوقت وبتختار الأسرع. طبعاً قالوله: “احنا متشكرين على الإضافة العظيمة!” قالهم: “طيب هحاول أبسطهالكوا!“

هو مش أى حاجه فى الدنيا بيبقى ليها طبيعة مزدوجة اللى بيعبر عنها بـثنائية الموجة والجسيم (Wave–particle duality)؟ قالوله: “أه سمعنا عن القصة دى من مخابيل ميكانيكا الكم“. قالهم: “خلاص مادام عارفين الباقى كله سهل“.

لان طبيعة الموجات بتخليها تمشى فى كل المسارات مرة واحدة. زى بالظبط اللى كان بيحصل فى التجربة اللى بتحبوها بتاعة الـ Double Slit Experiment. فالحركة فى كل المسارات دى فى نفس الوقت ما هى إلا احتمال كمى شامل بيتنفذ.

المسار بقى الأسرع بيكون هو أقوى احتمال وبيحصله عملية التداخل البناء (Constructive Interference). يعنى ببساطة الموجات فيه بتقوى بعضها وتستمر فى نفس المسار. أما بقية المسارات البطيئة فبيحصل فيها للموجات عملية التداخل الهدام أو الـ (Destructive Interference). يعنى الخلاصة موضوع اختيار المسار الأسرع تم بناءا على دراسة حقيقية لكل المسارات.

وللعلم بقى الخاصية دى كانت هى الأساس الرياضي اللى بيقوم عليه الكمبيوتر الكمى. وعلى فكرة فاينمان نفسه هو اللي اقترح أول نموذج نظري لكمبيوتر كمي سنة 1982.

لكن خلينى أقولك فى النهاية إذا كنت حاسس ان الموضوع ملعبك شوية ما تقلقش! فـريتشارد فاينمان نفسه بيقولك انت كده اثبت انك شخص طبيعى! وده لأن من وجهة نظره مفيش حد فاهم ميكانيكا الكم! بل ان المشكلة عنده فى اللى يقول انه فاهم.

Feynman بيقول: “فى الوقت اللى توصل فيه لاعتقاد انك فهمت ميكانيكا الكم، يبقى هو ده الوقت اللى لازم تتأكد فيه انك مفهمتش فيها حاجة!“

عموماً اللى عنده سؤال معين بخصوص الموضوع يسيبه فى التعليقات. فعلى الأقل أنا فاهم اللى كتبته ومستعد أجاوب على أى حاجة بخصوصه.